Яков Перельман
Загадки и диковинки в мире чисел
Умножение с помощью пальцев
Чтобы облегчить усвоение таблицы умножения, можно прибегнуть к пальцам наших рук: пользуясь ими как своего рода счетной машиной, мы можем автоматически получать произведения, начиная от 6 × 6 и кончая 15 × 15. Знать наизусть нужно здесь лишь табличку умножения до 5 × 5 и, конечно, еще самый прием умножения на пальцах.
Вот в чем состоит этот старинный способ, которым и теперь еще часто пользуются простолюдины в Сибири, на Украине, в глухих углах Лифляндии и с которым не мешало бы знакомить всех школьников при прохождении умножения. Пусть требуется умножить 7 × 9. Загибаем на одной руке столько пальцев, на сколько 7 больше 5, а на другой – столько, на сколько 9 больше 5, – короче, загибаем избыток множителей над 5. Итак:
Теперь сложите число загнутых пальцев (2 + 4 = 6), к результату припишите нуль и прибавьте произведение незагнутых (3 × 1 = 3). Получаем 63.
Еще пример – 6 × 8:
Способ, как видите, при своей простоте едва ли может затруднить даже самого юного математика; зная твердо первую часть Пифагоровой таблицы, свободную от «камней преткновения», можно этим приемом уже без особых усилий овладеть остальною, более трудною частью ее.
Цыфиркин из «Недоросля», обучавший Митрофанушку счетной премудрости, был, без сомнения, знаком с способом умножения на пальцах, и надо думать, старался с его помощью облегчить своему неспособному воспитаннику проникновение в тайны Пифагоровой таблицы. Сам же Цыфиркин мог узнать об этом умножении из «Арифметики» Магницкого, где оно описано в следующих выражениях:
«Ин способ к твержению таблицы, по перстом ручным сице.
«Аще хощеши ведати колико будет 7 × 7 и ты причти к перстом левыя руки от правыя 2, и станет 7; такожде и к перстом правыя руки от левыя, чтобы стало 7-же: и сложи причтенные оные персты обоих рук по 2, и будут значити 40: достальные же обоих рук, сиречь от правыя
3 и от левыя 3: умножи их между собою и будет 9, их же приложи к 40 и будет 7 × 7 = 49. Тако и о прочих».
На чем же основан этот любопытный счетный прием? Мы поймем это, если изобразим его в общем виде. Маленькая экскурсия в область «общей арифметики», т. е. алгебры, убедит нас прежде всего, что этот способ должен давать правильные результаты во всех случаях от 6 × 6 до 10 × 10. Каждое число, большее пяти, мы можем представить в таком виде:
5 + а, 5 + b или 5 + с и т. п.
Во всех этих выражениях буквами а, Ь, с обозначены избытки числа над 5. Если мы имеем дело только с числами не свыше 10, то а, Ь, с меньше 5. Произведение двух чисел больших пяти, в таком обозначении, изобразится следующим образом:
(5 + а) × (5 + b)
или, – так как в алгебре знака умножения в подобных случаях не пишут, —
(5 + а) (5 + b).
А что мы делаем, когда умножаем с помощью пальцев? Загибаем на одной руке а пальцев, на другой – Ь, оставляя незагнутыми остальные пальцы, т. е. на одной руке (5 – а), на другой (5 – Ь) пальцев. Затем складываем а + b и получаем цифру десятков, т. е. число
10 (а + Ь).
К нему прибавляем произведение чисел на загнутых пальцах, т. е.
(5 – а) (5-Ь).
И следовательно, в результате получаем:
10 (а + b) + (5 – а) (5-Ь).
Если выполним умножения, обозначенные скобками, мы будем иметь:
10а + 10b + 25 – 5а – 5b + ab.
Но так как 10а – 5а = 5а, а 10b – 5b = 5b, то строка упрощается и получает вид:
25 + 5а + 5b + ab,
т. е. то же самое, что получилось бы от непосредственного умножения данных нам множителей (5 + а) и (5 + Ь):
(5 + а)(5 + Ь) = 25 + 5а + 5b + ab.
Короче, все действия на пальцах можно представить в общем виде так:
А это выражение, мы уже знаем, равно (5 + а) (5 + Ь).
Мы сказали в самом начале статьи, что умножение на пальцах можно выполнять до 15 × 15. Как же
это делается? Несколько иначе, чем умножение до 10 × 10. Пусть требуется умножить 12 × 14. Загибаем на руках избыток множителей над 10 (а не над 5, как раньше), т. е. на одной руке 2 пальца, на другой – 4. Складываем 2 + 4, приписываем нуль, прибавляем произведение тех же чисел 2 и 4 (а не чисел незагнутых пальцев) и, кроме того, во всех случаях прибавляем 100. Имеем:
12 × 14 = 100 + (2 + 4) 10 + 2 × 4 = 168.
Еще пример —11 × 13:
На чем основан этот прием? Обратимся снова к алгебре. Все случаи подобного умножения можно в общем виде изобразить так:
(10 + а) × (10 + Ь),
где а и b – числа, меньшие 5, – означают, сколько загнуто пальцев. Выполнив умножение по общим правилам, получим:
(10 + а) (10 + Ь) = 100 + 10 (а + b) + ab.
Из этой строки ясна правильность способа: сто + + сумма загнутых пальцев с приписанным нулем + произведение загнутых пальцев.
Любопытно, что произведение 10 × 10 можно получить на пальцах по обоим способам. Действительно, по первому имеем:
По второму способу:
Существует также прием умножения на пальцах чисел от 15 × 15 до 20 × 20, – но способ этот слишком уж сложен. Всякая счетная машина хороша, когда обращение с нею просто; наша природная десятипальцевая машина не составляет исключения из этого правила.
Механическое умножение на 9
Опишем еще – как интересный курьез – простой прием умножения однозначных чисел на 9. Пусть нужно умножить 7 × 9. Положите перед собою на стол рядом обе руки и загните 7-й палец, считая слева. Тогда перед вами налево 6 пальцев, направо – 3: искомое произведение 63.
При умножении 5 × 9 загибаем 5-й палец: имеем налево 4, направо – 5 пальцев; произведение 45.
Предоставляем читателю самому сообразить, на чем этот способ основан.
Глава III Потомок древнего абака
Чеховская задача
Всем, вероятно, памятна в своем роде знаменитая арифметическая задача, которая так смутила семиклассника Зиберова из чеховского рассказа «Репетитор».
Купец купил 138 аршин черного и синего сукна за 540 руб. Спрашивается, сколько аршин купил он того и другого, если синее стоило 5 руб. за аршин, а черное 3 руб.?
С тонким юмором описывает Чехов, как беспомощно трудились над этой задачей и семиклассник-репетитор, и его ученик, двенадцатилетний Петя, пока не выручил их Петин отец, Удодов:
Петя повторяет задачу и тотчас же, ни слова не говоря, начинает делить 540 на 138.
– Для чего же вы делите? Постойте! Впрочем, так… продолжайте. Остаток получается? Здесь не может быть остатка. Дайте-ка я разделю!
Зиберов [репетитор] делит, получает 3 с остатком и быстро стирает.
– Странно… – думает он, ероша волосы и краснея. – Как же она решается. Гм!.. Это задача на неопределенные уравнения, а вовсе не арифметическая.
Учитель глядит в ответы и видит 75 и 63.
– Гм!., странно… Сложить 5 и 3, а потом делить 540 на 8? Так, что ли? Нет, не то!
– Решайте же! – говорит он Пете.
– Ну, чего думаешь? Задача-то ведь пустяковая, – говорит Удодов Пете. – Экий ты дурак, братец! Решите уж вы ему, Егор Алексеич.
Егор Алексеич [репетитор] берет в руки грифель и начинает решать. Он заикается, краснеет, бледнеет.
– Эта задача, собственно говоря, алгебраическая, – говорит он. – Ее с иксом и игреком решить можно. Впрочем, можно и так решить. Я вот разделил… Понимаете? Или, вот что. Решите мне эту задачу к завтраму… Подумайте…
Петя ехидно улыбается. Удодов тоже улыбается. Оба они понимают замешательство учителя. Ученик VII класса еще пуще конфузится, встает и начинает ходить из угла в угол.
– И без алгебры решить можно, – говорит Удодов, протягивая руку к счетам и вздыхая. – Вот, извольте видеть…
Он щелкает на счетах, и у него получается 75 и 63, что и нужно было.
– Вот-с… по-нашему, по-неученому.
Эта сценка с задачей, заставляющая нас смеяться над конфузом несчастного репетитора, задает нам, в свою очередь, три новые задачи. А именно:
1. Как предполагал репетитор решить задачу алгебраически?
2. Как должен был ее решить Петя?
3. Как решил ее отец Пети на счетах «по-неучено-му»? На первые два вопроса, вероятно, без труда ответят если не все, то, во всяком случае, – многие читатели нашей книжки. Третий вопрос не так прост. Но рассмотрим три наши задачи по порядку.
1. Семиклассник-репетитор готов был решать задачу «с иксом и игреком», будучи уверен, что задача – «собственно говоря, алгебраическая». И он, надо думать, легко справился бы с ней, прибегнув к помощи системы уравнений, – только не неопределенных, как ему показалось. Составить два уравнения с двумя неизвестными для данной задачи очень нетрудно; вот они:
х + у=38, 5х + 3у = 540,
где × и у — числа аршин синего и черного сукна.
2. Однако задача довольно легко решается и арифметически. Если бы вам пришлось решать ее, она, конечно, не затруднила бы вас. Вы начали бы с предположения, что все купленное сукно было синее, – тогда за всю партию в 138 аршин синего сукна пришлось бы уплатить 5 × 138 = 690 рублей; это на 690–540= 150 рублей больше того, что было заплачено в действительности. Разница в 150 рублей указывает, что в партии имелось и более дешевое черное сукно по 3 рубля аршин. Дешевого сукна было столько, что из двухрублевой разницы на 1 аршине составилось 150 рублей: очевидно, число аршин черного сукна определится, если разделить 150 на 2. Получаем ответ – 75; вычтя эти 75 аршин из общего числа 188 аршин, узнаем, сколько было синего сукна: 138 – 75 = 63. Так и должен был решать задачу Петя.
3. На очереди у нас третий вопрос: как решил задачу Удодов-старший?
В рассказе говорится об этом очень кратко: «Он щелкает на счетах, и у него получается 75 и 63, что и нужно было».
В чем же, однако, состояло это «щелканье на счетах»? Другими словами, каков способ решения задачи с помощью счетов?
Разгадка такова: злополучная задача решается на счетах тем же приемом, что и на бумаге, – тем же рядом арифметических действий. Но только выполнение их значительно упрощается благодаря преимуществам, которые наши русские счеты предоставляют всякому, умеющему с ними обращаться. Очевидно, отставной губернский секретарь Удодов хорошо умел считать на счетах, потому что их косточки быстро, без помощи алгебры, открыли ему то, чего репетитор-семиклассник добивался узнать «с иксом и игреком». Вот какие действия должен был проделать на счетах Петин отец.
Прежде всего ему нужно было, как мы знаем, умножить 138 на 5. Для этого он, по правилам действий на счетах, умножил сначала 138 на 10, – т. е. просто перенес 138 одной проволокой выше, – а затем разделил это число пополам, опять-таки на счетах же. Деление начинают снизу: откидывают половину косточек, отложенных на каждой проволоке; если число косточек на данной проволоке нечетное, то выходят из затруднения, «раздробляя» одну косточку этой проволоки на 10 нижних. В нашем, например, случае делят 1380 пополам так: на нижней проволоке, где отложено 8 косточек, откидывают 4 косточки (4 десятка), на средней проволоке из 3 косточек откидывают 1, а оставшуюся 1 косточку заменяют мысленно десятью нижними и делят пополам, добавляя 5 десятков к косточкам нижней; на верхней проволоке раздробляют одну косточку, прибавляя 5 сотен к косточкам средней проволоки. В результате на верхней проволоке совсем не остается косточек; на средней 1+5 = 6 сотен; на нижней 4 + 5 = 9 десятков. Итого, 690 единиц. Выполняется все это, конечно, автоматически.
Далее Удодову-старшему нужно было из 690 вычесть 540. Как проделывается это на счетах – всем известно.
Наконец, полученную разность, 150, оставалось разделить пополам: Удодов откинул из 5 косточек (десятков) 2, отдав 5 единиц нижнему ряду косточек; потом из 1 косточки на проволоке сотен отдал 5 десятков нижнему ряду: получилось 7 десятков и 5 единиц, т. е. 75.
Все эти простые действия выполняются на счетах гораздо скорее, чем тут описано.
